Introducción

Yo estaba trabajando en el estudio cuando el Tortugo entró ajetreado y golpeó un manuscrito sobre el escritorio.

“¡Listo!” dijo, con satisfacción obvia. “¡Terminado!”

“Ya era hora también,” dije, “quizás la vida vuelva a ser normal ahora.”

“¿No vas a mirarlo ni siquiera?” dijo el Tortugo, se veía un poco ofendido.

“Oh, supongo que sí,” dije, tratando de alcanzar el manuscrito y bostezando, “Necesito un pequeño descanso, un corte.”

“Me alegro de ser útil,” dijo el Tortugo sobre su hombro, ”... Debería mantenerte ocupado por unos buenos cinco minutos. Llámame si necesitas otro corte... ¡Probablemente te corte una pierna!”


Luego de aproximadamente una hora fui a la cocina con el manuscrito en la mano. El Tortugo levantó la mirada, expectante, y dijo, “¿Y?”

“Y, ¿qué?” dije, sacando un sandwich de la pila que él había armado.

“¿Qué piensas?” dijo.

“Me gusta,” dije, “realmente disfruté leerlo... Pero no es lo que esperaba. Pensé que estabas escribiendo algo sobre Logo y las matemáticas y la resolución de problemas. Veo algunas figuras que se pueden dibujar usando Logo, pero no veo mucho de resolver problemas o de matemáticas. ¿Qué estás tratando de hacer?”

“Es una larga historia,” empezó el Tortugo, ”...”

“Tengo un rato mas de tiempo,” dije, mirando mi reloj, “¿Me la puedes contar en pocas palabras?”

“Puedo hacerlo sólo en pocas palabras.”

“Trata,” dije, dándole un mordisco a mi sandwich.

“Bien,” dijo el Tortugo, se veía incómodo. “Está todo ahí... Logo, y las matemáticas y la resolución de problemas está todo ahí... Incluso si no es obvio.”

“A - ha” dije, dándole otro mordisco al sandwich.

“Vélo de esta manera,” dijo el Tortugo. “Hay ‘figuras’... Las formas geométricas... Tienes que encontrar una secuencia de comandos en Logo que hará que la tortuga en la pantalla dibuje cada forma... Necesitas pensar matemáticamente para hacerlo. Y hay ‘acertijos’... Historias y poemas con pistas escondidas en ellos... Las pistas son mayormente sobre las conexiones entre las figuras. Eso también es matemático.”

“¿Conexiones?” dije. “¿Quieres decir que todas las figuras están relacionadas entre sí?”

“Sí,” dijo el Tortugo, mientras volvía su entusiasmo.

“Ah-ha,” dije, dejando mi sandwich. “Entonces el cuadernillo es una serie de figuras y acertijos relacionados, y necesitas usar buenos métodos de resolución de problemas y pensamiento matemático para descubrir de qué se trata todo?”

“¡Exacto! Puedes considerar el cuadernillo entero como un gran problema.”

Lo miré al Tortugo por un momento: “¿Querrías parafrasear eso?”

“En serio, EBN, sabes lo que quiero decir,” dijo.

“Perdón, sí sé qué quieres decir,” dije. “Ahora... Tengo otra pregunta. Algunas de estas cosas parecen ligeramente desafiantes en una primera lectura... ¿Para quién lo has escrito?”

“Para alumnos de secundaria, maestros y padres. Hay caminos fáciles en el cuadernillo, por ejemplo, puedes empezar por las formas mas simples de Logo y los acertijos más fáciles, pero también hay acertijos que representarán un reto para los adultos.”

“¿Porqué querrías hacer eso?” dije. “¿Porqué tener un rango tan amplio de dificultad?”

“Bueno,” dijo el Tortugo, “Yo creo que es importante para los maestros y los padres que se involucren profundamente en el proceso de resolución de problemas ellos mismos. Si eso ocurriera, entonces debe haber acertijos que desafíen genuinamente a los adultos.”

“¿Pero cómo pueden los alumnos manejar eso?”, dije. “Seguramente no puedan progresar mucho con problemas que son difíciles para los adultos.”

“Deberías estar sorprendido,” dijo el Tortugo, con brillo en sus ojos. “La mayoría de los alumnos serán capaces de resistir con sus maestros y padres... Si se les da la oportunidad. Es por eso que el cuadernillo está diseñado para que nadie sepa las respuestas... Es especialmente importante que los maestros y padres no estén seguros de las soluciones de los acertijos.”

“Estaba a punto de preguntarte sobre eso,” dije, hojeando el manuscrito, “¿Dónde están las soluciones?”

El Tortugo se dió un golpecito en la frente.

“¿Cuán bueno es eso?” dije, “¿Cómo va a saber la gente cuando lo hicieron bien?”

“Tienen que tomar el enfoque científico,” dijo el Tortugo. “Tienen que construir sus propias teorías y luego probarlas. Tienen que buscar la consistencia en sus respuestas a las diferentes figuras y acertijos. Tienen que trabajar juntos y discutir sus ideas. En pocos casos quizás nunca se aseguren de que van por el camino correcto. Tal como en la vida real.”

“¡Esto es serio!” dije, frunciendo el ceño. “Será mejor que me cuentes con mas detalles.”


El Tortugo y yo estábamos afuera al lado del estanque en el jardín. Estábamos recostados en las cómodas reposeras con un bowl en una mesita ubicada entre nosotros dos. El Tortugo se inclinó y llenó su copa con lo que llamó ‘ponche tradicional de celebración’.

“Bien, ¿Dónde quieres que empiece?” dijo, poniéndose cómodo en su reposera.

“Desde el principio,” dije. “Empieza por decirme qué hay en el cuadernillo.”

“Bien,” dijo el Tortugo después de una pequeña pausa. “Primero, hay una serie de cuarenta figuras Logo.”

“¿Exactamente qué es una figura Logo?”

“Bien, yo dibujo una forma, o un patrón, y luego te digo, ‘Aquí tienes, EBN, haz que la tortuga dibuje esta figura’, pero no te digo qué comandos Logo usar.”

“Entonces, ¿una figura Logo es una especie de forma o patrón y su solución es una serie de comandos Logo que hacen que la tortuga dibuje lo que le pido?”

“Sí,” dijo el Tortugo.

“Me parece bien,” dije. “Pero siempre habrá mas de una serie de comandos para producir cada figura. ¿Cómo sabes cuándo tienes la respuesta correcta?”

“Cualquier serie de comandos que haga a la tortuga trazar la figura es una respuesta correcta,” dijo el Tortugo. “No existe tal cosa como la respuesta correcta. Algunas respuestas son mas simples que otras, y podrías discutir que las soluciones mas simples son las mejores, pero cualquier serie de comandos que funcione es aceptable.”

“Continúa,” dije.

“Segundo,” dijo el Tortugo, “hay una serie de cuarenta acertijos... Las historias y los poemas.”

“No logro entender completamente la conexión entre los acertijos y las figuras,” dije. “Seguramente no necesitas resolver los acertijos para poder resolver las figuras.”

“No, no necesitas resolver los acertijos primero,” dijo el Tortugo. “brindan pistas e indicios para ayudarte a pensar sobre las soluciones para las figuras, sobre las relaciones entre las figuras y sobre los principios matemáticos subyacentes. También, representan por sí mismos un desafío... Apelan a una gran variedad de material; por ejemplo, hay ideas de geografía, historia, mitología, física, química, lengua, literatura y, por supuesto matemáticas y Logo.”

“¿Porqué tienes acertijos que involucran cosas fuera de Logo y las matemáticas?” dije.

“Esa es otra larga historia... Pero la idea principal es plantear una situación problemática que sea como en la vida real. Los problemas reales involucran muchos factores, y sus soluciones son usualmente para nada obvias... Quería que el cuadernillo sea así.”

“En otras palabras, quieres que la gente se acostumbre a la idea de que hay métodos para resolver problemas que no implican el uso de las matemáticas.”

“¡Exacto!” dijo el Tortugo; se levantó y agarró mi copa para llenarla.

“Gracias,” dije, mientras me alcanzaba la copa. “Una cosa todavía me preocupa... ¿Cómo sabes que el nivel de dificultad es el adecuado? Cuando leo el manuscrito, me da la impresión de que las figuras Logo pueden ser demasiado fáciles para cualquiera que esté lo suficientemente avanzado para resolver los acertijos.”

“Sí. Esa es una buena pregunta,” dijo el Tortugo. Se volvió a sentar y se quedó mirando fijo a través del jardín. Después de un rato dijo: “Bueno, las figuras Logo no se supone que sean demasiado difíciles; necesitan ser accesibles para principiantes. Pero, incluso más importante, se intenta que las figuras sean resueltos como un todo... Las figuras están relacionados de varias maneras, y un intento de entender esas relaciones, y de discutirlas, revelará mucho de las matemáticas subyacentes. Esta propiedad de las figuras Logo, sus relaciones, no está tan bien definida y no es tan fácil.”

“¿Estas diciendo que la misma actividad de escribir los comandos Logo no es importante?”

“¡No!” dijo el Tortugo. “¡Ni por un segundo! Para un principiante, el problema de escribir los comandos Logo será desafío suficiente... Y es un desafío que vale la pena; se necesita mucho pensamiento matemático y experimentación antes de escribir una serie de comandos Logo viable.”

“Es razonable,” dije, “supongo que el hecho de estar trabajando con la tortuga en pantalla significa que puedes ver fácilmente cuándo tu respuesta es correcta o incorrecta.”

“Sí,” dijo el Tortugo, “eso es muy importante... Logo rara vez da buen feedback.”

“Pero, ¿qué pasa con los acertijos? Todavía no veo cómo puedes saber si tus respuestas a los acertijos son aproximadamente correctas siquiera,” dije arrugando una ceja.

“Al comparar notas, al discutir, al asegurarse que las soluciones propuestas para los acertijos coinciden con las propiedades de las figuras Logo. Incluso, hay algunas otras pistas en cada acertijo, las cuales permiten verificaciones.”

“¡Ah-ha! ¿Entonces hay información escondida dentro de los acertijos que puedes usar para probar tus respuestas?”

“Sí. En la mayoría de los casos será obvio cuando estés en el camino correcto. Cuando propones una nueva solución, tu visión del problema cambia y, si tu nuevo punto de vista está bien, otras pistas aparecerán frente tuyo.”

“Suena como conejos que salen de una galera,” dije.

“Sí,” dijo el Tortugo con una sonrisa. “Magia.”

“Bien,” dije, levantándome y comenzando a guardar mi reposera, “suena bastante bien. ¿Y qué hay de los recursos? No todos tendrán una computadora disponible.”

“Sí,” dijo el Tortugo, “eso es verdad. Pero puedes usar el cuadernillo sin una computadora; por ejemplo, puedes anotar los comandos Logo, y luego tener un amigo con quien ‘jugar a la tortuga’ y seguir tus instrucciones... O puedes mapear los movimientos en papel.”

“Pero seguramente es mejor usar una computadora,” dije. “Esa es la forma más fácil de averiguar si tu solución funciona.”

“Es cierto... Pero resolver las figuras Logo no es la única actividad en el cuadernillo, entonces puedes desarrollar una clase fácilmente con una o dos computadoras. Por supuesto, sí necesitas otros recursos... Para resolver los acertijos necesitas un buen diccionario, un atlas, una enciclopedia y una modesta biblioteca de literatura clásica.”

El Tortugo levantó el bowl vacío de ponche y empezó a cruzar el césped. Luego se detuvo y se dió vuelta. “¿Porqué no revisas el cuadernillo tu mismo?” dijo, “Valoraría tus comentarios.”

“Bien,” dije, juntando las copas, “quizás lo haga... Pero ¿te importaría probarlo en una de mis clases primero? Me gustaría ver todo esto en acción antes de decidir.”

“Me alegro de ayudar,” dijo el Tortugo, entrando a la casa.

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